[2016년 가좌고]

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[1학년 2학기 중간]

다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

가. [eqn: EMPTYSET IN LEFT { `0` RIGHT } ``]	나. [eqn: 1 SUBSET LEFT { 1,```2 RIGHT }]

다. [eqn: EMPTYSET SUBSET LEFT { EMPTYSET ,```0 RIGHT }]	라. [eqn: LEFT { 1,```2 RIGHT } SUBSET LEFT { 1,```2 RIGHT }]

① 가, 다	② 가, 라	③ 나, 다

④ 나, 라	⑤ 다, 라

두 집합
[eqn: A=left{`a`|`a=n+1,```n le5인```자연수right}],
[eqn: B= LEFT { `b`|`b=a ^{2} -1,```a IN A RIGHT }]
에 대하여 [eqn: n(A-B)]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 항등함수, 상수함수, 일대일 대응을 각각 [eqn: f], [eqn: g], [eqn: h]라 할 때, [eqn: f(2)=g(1)], [eqn: g(3)=h(3)], [eqn: h(1)<h(2)]이 성립한다. 이 때, [eqn: g(2)+3h(2)]의 값은?

⑤

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

두 집합 [eqn: X= LEFT { -1,```0,```1 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 0,```1 RIGHT }] 에 대하여 다음 중 ‘[eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수’가 되는 것으로 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

①

가. [eqn: f _{`1} (x)= LEFT | `x` RIGHT | ``]	나. [eqn: f _{2} (x)=`-x ^{2} +1``]

다. [eqn: f _{3} (x)=x+1``]	라. [eqn: f _{4} (x)=`-x``]

① 가, 나	② 나, 다	③ 가, 나, 다

④ 나, 다, 라	⑤ 가, 나, 다, 라

두 집합
[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 3,```4,```5 RIGHT }]
에 대하여 다음을 모두 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수는?

③

(가) [eqn: (A-B) SMALLINTER X=A SMALLINTER B ^{`c} ``]

(나) [eqn: X CUP A=A``]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

함수 [eqn: y= {ax+b} over {x+c} ``]의 그래프가 그림과 같을 때, 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 값은?

④

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 6]

음이 아닌 두 정수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

가. ‘[eqn: xy]가 짝수이다’는 ‘[eqn: x] 또는 [eqn: y]가 짝수이다.’이기

위한 필요충분조건

나. [eqn: x ^{2} +y ^{2} =0]은 [eqn: x=0] 또는 [eqn: y=0]이기 위한 필요조건

다. [eqn: x+y ge2]는 [eqn: x ge1] 또는 [eqn: y ge1]이기 위한 충분조건

① 가	② 가, 나	③ 가, 다

④ 나, 다	⑤ 가, 나, 다

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 등식과 부등식을 ‘명제’와 ‘조건’으로 구분할 때, 다음 중 ‘조건’으로 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

②

가. [eqn: (x-y) ^{2} >(x+y) ^{2} ``]

나. [eqn: x ^{2} -xy+y ^{2} <=0``]

다. [eqn: x ^{2} -y ^{2} =(x+y) ^{2} -2y`(x+y)``]

① 가	② 가, 나	③ 가, 다

④ 나, 다	⑤ 가, 나, 다

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =10]일 때, [eqn: 5x+4y]의 값 중에서 가장 큰 정수는?

②

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

함수 [eqn: f(x)=2x+4]에 대하여 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: f ^{`-1} (x)]라 할 때, [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

③

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 24]

전체집합 [eqn: U]에서의 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: {P], [eqn: Q], [eqn: R]이라고 하자. 두 명제 [eqn: p -> SIM q]와 [eqn: r -> q]가 모두 참 일 때, 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

가. [eqn: P SMALLINTER R= EMPTYSET ``]

나. [eqn: P CUP Q=U``]

다. [eqn: Q-P=Q``]

① 가	② 가, 나	③ 가, 다

④ 나, 다	⑤ 가, 나, 다

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: (f CIRC f)(2)-(f CIRC f) ^{`-1} (3)]의 값은?

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -3]

함수 [eqn: f(x)= {cases{x+1&```(x<=0)#-3x+2&```(x>0)}}]에 대하여
[eqn: f=f^1], [eqn: f circf=f^2], [eqn: cdots], [eqn: f circf^n =f^n+1](단, [eqn: n]은 자연수)
과 같이 정의할 때, [eqn: f ^{`99} (1)]의 값은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

다음은 명제 ‘자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n ^{2}]이 짝수이면 [eqn: n]도 짝수이다.’가 참임을 대우명제를 이용하여 증명하는 과정이다.

다음 중 (가), (나), (다), (라)에 대한 설명으로 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

주어진 명제의 대우는 (       가       )

[eqn: n]이 홀수이므로 [eqn: n=(````나`````)]([eqn: k]는 자연수)라 하면
[eqn: n ^{2} =2`(2k ^{2} -2k+1)+(````다`````)]
이다. 여기서 [eqn: 2`(2k ^{2} -2k+1)]은 [eqn: (````라`````)]이므로 [eqn: n ^{2}]은 홀수이다. 따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다.

②

가. (가)에 들어갈 말은 ‘자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: n]이 홀수이면 [eqn: n ^{2}]도 홀수이다.’이다

나. (나)에 들어갈 식을 [eqn: f(k)]라 하고, (다)에 들어갈

값을 [eqn: a]라 할 때, [eqn: f(a)=-3]이다.

다. (라)에 들어갈 말은 ‘홀수’이다.

① 가	② 가, 나	③ 나, 다

④ 가, 다	⑤ 가, 나, 다

명제 ‘[eqn: a LEQ x LEQ a+2]인 어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -3<x le4]이다.’의 부정이 거짓이 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

⑤

① [eqn: 5]개	② [eqn: 6]개	③ [eqn: 7]개

④ [eqn: 8]개	⑤ [eqn: 9]개

전체학생이 [eqn: 40]명인 어느 반에서 [eqn: A``]소설을 읽은 학생은 [eqn: 28]명, [eqn: B``]소설을 읽은 학생은 [eqn: 20]명 이었다. 두 소설 [eqn: A], [eqn: B] 중 한 권만 읽은 학생 수의 최댓값 [eqn: M]과 최솟값 [eqn: m]의 차 [eqn: M-m]의 값은?

①

① [eqn: 24]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 16]

서술형

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이고, 그 풀이과정을 서술하시오.

(1) 적당히

(2) [eqn: A cap(A SMALLINTER B ^{c} )^c =A cap( A^c cupB) =(A cap A^c )cup(A capB)=A capB]

[eqn: A-(A-B)=A SMALLINTER B``]

(1) 벤다이어그램을 이용하여 성립함을 보이시오.

(2) 집합의 연산법칙을 이용하여 성립함을 보이시오.

두 함수 [eqn: f(x)=3x+2], [eqn: g(x)=2x+1]에 대하여 [eqn: g CIRC f CIRC h ^{`-1} =f]를 만족할 때, 함수 [eqn: h(x)]를 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

[eqn: h(x)=2x+1``]

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: LEFT | `x-y` RIGHT | + {16} over {LEFT | `x-y` RIGHT | +2}]의 최솟값과 최소가 될 때의 [eqn: x-y]의 값을 각각 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.

[eqn: x-y=±2]일 때, 최솟값 [eqn: 6]

다음은 명제 ‘두 홀수의 합은 짝수이다.’를 증명하는 과정이다.

이와 같은 증명 방법으로 명제 ‘[eqn: 3]의 배수가 아닌 두 자연수의 곱은 [eqn: 3]의 배수가 아니다’를 증명하여라. (주어진 양식에 맞추어 서술하시오.)

주어진 명제를 [eqn: p-> q]로 바꾸면

‘두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]가 모두 홀수이면 [eqn: a+b]는

짝수이다.’이다.

(가정) 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]는 모두 홀수이다.

(결론) 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]는 짝수이다.

(증명) 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]가 모두 홀수이면

[eqn: a=2m-1], [eqn: b=2n-1]([eqn: m], [eqn: n]은 자연수)

로 나타낼 수 있다.

…  중략  …

따라서 두 홀수의 합은 짝수이다.

[eqn: (3m+1)(3n+1)], [eqn: (3m+1)(3n+2)],

[eqn: (3m+2)(3n+1)], [eqn: (3m+2)(3n+2)]

어느 것도 [eqn: 3]의 배수가 아니다.

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